Mathematik für das
Friedensdorf Oberhausen
Darstellungen der Zahl 2025
(Januar 2025)
Welche Darstellungen hat die Zahl 2025 als
- Summe von Kubikzahlen* (Tipp: vgl. folgenden Grafiken)
- Summe von zwei Quadratzahlen
- Differenz von zwei Quadratzahlen
- Mittelwert von zwei Quadratzahlen
- Summe von Dreieckszahlen
- Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen?
(c) Heinz Klaus Strick 2024
Muster aus Sternen (Dezember 2024)
Welche anderen Muster aus Sternen kann man für die einzelnen Tage finden?
Parabelschnittpunkte (November 2024)
Gesucht sind die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den Gleichungen x + y² = 6 und x² + y = 6
(allgemein: x + y² = p und
x² + y = p mit p >0).
Verbeultes Quadrat
(Oktober 2024)
Wenn man ein Quadrat jeweils in den Seitenmitten halbkreis-mäßig nach innen eindrückt und dafür an den Ecken entsprechend "rund" ausbeult, dann entsteht die nebenstehende Figur.
Welche Radien müssen jeweils gewählt werden? Ähnliche Bilder entstehen auch bei anderen n-Ecken,
allerdings nicht bei n = 3.
Quadrat dritteln (September 2024)
Dies ist eine (weitere) Möglichkeit, ein Quadrat durch das Einzeichnen von Parabeln in drei gleich große Teilflächen zu zerlegen.
Welche Parabeln werden benötigt, um die Quadratfläche in vier, fünf, ... gleich große Teilflächen zu unterteilen?
Ein kleines Spiel für zwischendurch (August 2024)
(Das Spiel würde durchaus auch in die neue Sammelmappe passen, die es ab sofort bei mir zu kaufen gibt.)
(Wenn man eine Wette eingeht, dann muss man ja nicht unbedingt jedes Mal gewinnen ...)
Schöpferische Pause für mein nächstes Buch ...
Ein kleines Problem für zwischendurch (Januar 2024)
2024 = 2025 - 1 = 45² - 1² = (45 - 1) x (45 + 1) = 44 x 46
= (2² x 11) x (2 x 23) = 2³ x 11 x 23
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2024 enthält 3 ungerade Teiler, nämlich 11, 23 und 253 und kann daher (gemäß dem Satz von SYLVESTER, vgl. Mathematik ist schön, Kap. 2.4) auf 3 Arten als Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden:
- 11 Summanden:
179+180+181+182+183+184+185+186+187+188+189
- 23 Summanden:
77+78+...+86+87+88+89+90+...+97+98+99
- 16 Summanden:
119+120+121+...+132+133+134
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2024 lässt sich als Summe von mindestens 5 Kubikzahlen darstellen:
2024 = 2³+2³+4³+6³+12³
= 2³+2³+2³+10³+10³ = 3³+3³+8³+9³+9³
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- Welche Darstellungen der Zahl 2024 als Summe von
Quadratzahlen gibt es?
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Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von höchstens drei Dreieckzahlen darstellen (wie der 19-jährige CARL FRIEDRICH GAUSS im Jahr 1796 bewies).
- Welche Darstellung(en) hat die Zahl 2024 als Summe von Dreieckszahlen?
Ein kleines Problem für zwischendurch (Dezember 2023)
Halbiert man ein Quadrat mithilfe einer Diagonalen und zeichnet in die beiden Hälften jeweils einen Inkreis ein, dann ergibt sich, dass der Flächeninhalt dieser beiden Inkreise zusammen größer ist als die restliche Quadratfläche.
Man bestimme das Seitenverhältnis der Seiten eines Rechtecks, für das gilt, dass die beiden eingezeichneten Inkreise zusammen genauso groß sind wie die restliche Fläche des Rechtecks.
Ein kleines Problem für zwischendurch (Oktober 2023)
Wie sind die Radien der Kreisbögen um die Eckpunkte A, B, C zu wählen, dass sich jeweils zwei Bögen auf den Seiten berühren?
Ein kleines Problem für zwischendurch (September 2023)
Satz von Monge
Zeichnet man die Außentangenten an drei unterschiedlich große, sich nicht überdeckende Kreise, dann liegen deren Schnittpunkte auf einer Geraden.
- Was gilt im Falle, dass zwei Kreise gleich groß sind?
(Gaspard Monge ist eine der Persönlichkeiten, über die ich im Buch "Verkannt, verfemt, vergessen" berichtet habe.)
Ein kleines Problem für zwischendurch (Juni 2023)
Heinrich Hemme stellte kürzlich in einem seiner wunderbaren Rätsel eine besondere Eigenschaft von Seiten und Diagonalen im regelmäßigen 9-Eck vor: Die Längen einer Seite und einer Diagonale sind zusammen genauso groß wie die Länge einer anderen Diagonale, vgl. https://www.spektrum.de/raetsel/wie-laesst-sich-das-verhaeltnis-bestimmen/2125614
Ähnliche Eigenschaften gelten auch für andere regelmäßige Vielecke, beispielsweise für das regelmäßige 12-Eck, 15-Eck, 18-Eck, ...
Ein kleines Problem für zwischendurch (Mai 2023)
Ungerade Zahlen und Dreieckszahlen
(Ausführungen hierzu findet man in der "Kunterbunten Mathematik")
Die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen ergibt stets eine Quadratzahl.
In der Abbildung sind das
(1 + 2 + 3 + 4) + (3 + 2 + 1) = 10 + 6 = 16 rote Steine
und
(1 + 2 + 3) + (2 + 1) = 6 + 3 = 9 grüne Steine.
Die Summe ersten n ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl.
In der Abbildung sind das
1 + 3 + 5 + 7 = 16 rote Steine und
5 + 3 + 1 = 9 grüne Steine.
Ein kleines Problem für zwischendurch (April 2023)
Fallen Ihnen noch weitere (prinzipiell andere) Kreisvierteilungen ein?
Ein kleines Problem für zwischendurch (Februar 2023)
Wie kann man herausfinden, dass 567 die letzten drei Ziffern von 2023^2023 sind?
Eine Anleitung hierfür findet man in der "Kunterbunten Mathematik"
Ein kleines Problem für zwischendurch (November 2022)
Gemäß dem Kreiswinkelsatz gilt:
Die Peripheriewinkel über einer Sehne sind halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
Diesen Satz kann man nutzen um die trigonometrischen Doppelwinkelsätze herzuleiten, also sin(2a) = 2sin(a)cos(a) usw.
Wie ergeben sich diese Sätze aus dem Kreiswinkelsatz?
Ein kleines Problem für zwischendurch (Oktober 2022)
Ein Geodreieck kann man auch dazu benutzen, Winkel zu messen oder abzutragen. Die Markierungen sind unterschiedlich weit vom Mittelpunkt der Grundseite entfernt. Wie weit eigentlich?
Ein kleines Problem für zwischendurch (August 2022)
Gemäß dem Satz von Varignon bilden die Verbindungslinien benachbarter Seiten eines beliebigen Vierecks ein Parallelogramm. Welche Sonderfälle gibt es?
(Pierre de Varignon ist eine der Persönlichkeiten, über die ich im Buch "Verkannt, verfemt, vergessen" berichtet habe.)
Ein kleines Problem für zwischendurch (Juli 2022)
Wodurch sind die abgebildeten Figuren gekennzeichnet? Wie groß sind die Flächenanteile?
